Modelos de Probabilidad y Estadística.

Modelos de Probabilidad y Estadística

Probabilidad: La Probabilidad es la mayor o menor posibilidad de que ocurra un determinado suceso. En otras palabras, su noción viene de la necesidad de medir o determinar cuantitativamente la certeza o duda de que un suceso dado ocurra o no.

Ejemplos de aplicación:

Si una persona tiene una moneda y va a lanzarla al aire y por supuesto existe la incertidumbre sobre el resultado de tal acción, veamos la interpretación de cada uno de los términos.

Experimento : lanzar una moneda.

Evento: Cada una de las respuestas de esta actividad, el evento uno será Sol y el evento dos será Águila.

El conjunto de todos los resultados posibles de un experimento se llama espacio muestral.

Se representa con la letra S.

S= Águila, Sol.

Preguntas:

¿ Cual es la probabilidad de que caiga Águila ?
probabilidad= Casos favorables/casos posibles

Probabilidad= 1/2  que corresponde al  50%

Veamos el ejemplo en un dado.
El espacio muestral será de :
S= 1,2,3,4,5,6   porque tenemos seis alternativas

¿Cuál es la probabilidad de que caiga un número par de ese dado?
Seleccionemos los pares.
S= 1,2,3,4,5,6

Tenemos que la probabilidad es:
P(pares dado) = 3 (tres número que son pares, por lo tanto hay tres posibilidades de que sea par) / 6 (el número de elementos de mi espacio)

P(pares dado) = 3/6 = 0.5 = 50%

¿Cuál es la probabilidad de que caiga el número 3 de ese dado?

P(número  3) = 1 (en el dado sólo existe un número 3) / 6 (total de elementos de mi espacio)

P(número 3) = 1/6 = 0.16 = 16%.

Estadística: Es la rama de las Matemáticas que se encarga de organizar, interpretar y mostrar los datos de manera clara y legible.

En este curso estudiaremos la Estadística descriptiva cuya información se base en datos reales y tangibles.

En una empresa se desea conocer el color de ojos de sus empleados, se observa a los 50 empleados y se obtienen los siguientes resultados: 

Histograma de frecuencias Color ojos Empleados Negros 14 Marrones 24 Verdes 4 Azules 8 NOTA: En el eje x  se representará la variable ( color de ojos) y en el eje y se representarán las frecuencias absolutas que corresponden al numero de empleados. Durante el mes de Septiembre, en una ciudad se han registrado las siguientes temperaturas máximas:32, 31, 28, 29, 33, 32, 31, 30, 31, 31, 27, 28, 29, 30, 32, 31, 31, 30, 30, 29, 29, 30, 30, 31, 30, 31, 34, 33, 33, 29, 29. Elabore una tabla de distribución de frecuencias: En la primera columna escribimos las temperaturas ordenándolas de menor a mayor, en la segunda columna aparece el conteo de cada valor de temperatura de acuerdo a los datos proporcionados, en la tercera columna se obtiene la frecuencia acumulada se repite el primer datos y los siguientes se obtienen acumulando los siguientes valores en forma diagonal.     xi fi Fi ni Ni 27 1 1 0.032 0.032 28 2 3 0.065 0.097 29 6 9 0.194 0.290 30 7 16 0.226 0.516 31 8 24 0.258 0.774 32 3 27 0.097 0.871 33 3 30 0.097 0.968 34 1 31 0.032 1   31   1   Medidas de tendencia central. 1).- Media aritmética o promedio: Se obtiene sumando todos los datos y dividiendo el resultado entre el numero de datos. Ejemplo: Considérense los siguientes datos: 3, 8, 4, 10, 6, 2. Se pide: Calcular su media. 2).- Mediana: Es el valor central de un grupo de datos. para obtener este valor se ordenan los datos de menor a mayor y posteriormente se separan uno a uno hasta obtener el valor central. Si resultan dos cantidades como valor central se determina el promedio y este sera el valor de la mediana. Ejemplos: 2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6Me = 5 7, 8, 9, 10, 11, 12Me = 9.5 Moda: Es el valor que mas se repite en un grupo de datos. Ejemplos: Hallar la moda de la distribución: 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5 Mo = 4 1, 1, 1, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 8, 9, 9, 9Mo= 1, 5, 9

SUCESIONES Y SERIES

SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS

CONCEPTO DE SUCESIÓN: Se define como un conjunto de elementos (números o letras), uno detrás de otro con un cierto orden.

Ejemplos:

                 1, 3, 5, 7, ...                     a, c, e, g...                  2, 4, 6, 8, 10 ....

En este caso cada uno de los elementos de la sucesión se incrementan a razón de 2 unidades y están escritos en forma ascendente. la sucesión puede ser numérica o alfanumérica y los elementos deben aumentar o disminuir a la misma razón. 

TIPOS DE SUCESIONES.

A).- Sucesiones aritméticas: Son aquéllas en las que la razón entre los elementos se obtiene por una  diferencia (resta) o suma, por ejemplo:

                                        

                                      1, 4, 7, 10, ...

En este caso la razón a la que aumentan las cantidades es de 3 unidades, ya que 4-1=3

La regla para obtener un elemento cualesquiera es:

 
La regla es x_n = 3n-2

Por ejemplo si queremos obtener el número que ocupa el lugar x5, tendremos que:

  x5= 3(5)-2 = 15-2=13

Otro ejemplo es la sucesión:

                                          3, 8, 13, 18, ...    

En este caso los números se incrementan a razón de 5 unidades y la 

La regla es x_n = 5n-2

A manera de comprobar la sucesión anterior, podemos encontrar el número que ocupa el sexto lugar:

    X6=5(6)-2 = 30-2 =28

Cabe mencionar que para encontrar cualquiera de los términos de una sucesión aritmética podemos utilizar la siguiente formula: 

                                        

Ejemplo: Podemos calcular el sexto término de la sucesión anterior

                                         a₆= 3 + 5(6-1)

                                         a₆= 3 + 5(5)= 3 + 25 = 28

  

B).- Sucesiones geométricas: Son aquéllas donde la razón entre cada uno de los elementos se obtiene por medio de una multiplicación o una división, por ejemplo:

                            2, 4, 8, 16, ....

En esta sucesión los valores se incrementan a razón de  2 entre cada dos términos y la La regla es x_n = 2ⁿ

Como ejemplo podemos determinar el valor del cuarto elemento de la sucesión:

                                                   X4= 2 elevado a la cuarta potencia

                                                   X4 = 2x2x2x2 = 16

Para encontrar el valor de la razón, también podemos utilizar la siguiente fórmula:

Donde: r = valor de la razón

a(n+1)= valor siguiente

 an= valor actual

A manera de comprobación podemos resolver el ejemplo anterior:

Elegimos las dos primeras cantidades ( 2 y 4)  r= 4/2 = 2

Si elegimos las dos últimas cantidades, tendremos:  16/8 = 2

resultando que es la misma razón entre cada uno de los números.

Para encontrar cualquiera de los términos de una sucesión geométrica, podemos utilizar la siguiente formula:

SERIE NUMÉRICA: Se puede decir que, una serie se define como la suma de un conjunto de términos que corresponden a una sucesión. 

Ejemplo:

Sucesión:  1, 2, 3, 4

Serie: 1+2+3+4 = 10

FORMULA PARA ENCONTRAR LA SUMATORIA:

Ejemplos:

Encuentre la suma de los primeros 20 términos de la serie aritmética si a 1 = 5 y a 20 = 62.

Encuentre la suma de los primeros 8 términos de la serie geométrica si a 1 = 1 y r = 2.

             

RAZONES Y PROPORCIONES

Razones y proporciones

Razón: Es el valor que se representa como el cociente entre dos cantidades y de la cual se encuentran valores proporcionales.

Por ejemplo, si en una caja tenemos 24 caramelos y 18 paletas, entonces lo representaremos de alguna de las siguientes formas:

24/18

24:18

Y como la fracción podemos simplificarla, entonces tendremos:

4/3

4:3

Y se lee que existe una razón de 4 a 3, o de 4 por cada 3.

Ahora bien, cada una de las cantidades de una razón tiene un nombre: La cantidad que se encuentra en el numerador se llama antecedente y la cantidad que aparece en el denominador se llama consecuente.

Tipos de razones.

1).- Razón aritmética: Es la comparación de dos cantidades mediante la diferencia o resta. r= a-b   donde a= antecedente    y   b= consecuente

Ejemplos:    12 - 8 = 4            25 - 10 = 15                    6 - 4 = 2

2).- Razón geométrica: Es la comparación de dos cantidades mediante la división o cociente, y consiste en determinar cuántas  veces cada una de las cantidades contiene  a dicha unidad de referencia.

Ejemplos:

La razón entre 6 y 2 es 3 , ya que 6/2 = 3

La razón entre 100 y 10 es 10 , porque 100/10=10

Proporción: Es el valor que indica una igualdad entre dos cantidades y que corresponden a una razón especifica. 

Ejemplo:              2/3 = 6/9   ó   2:3 = 6:9

En este caso las dos cantidades son equivalentes o iguales, resultando la segunda cantidad de multiplicar el numerador y el denominador de la primera por una razón que es el numero 3. Así mismo otro valor proporcional seria 18/27 , que resulta de multiplicar el numerador y denominador de la segunda cantidad por el valor de la razón (3).

Tipos de proporciones.

1).- Proporción directa: Es aquélla donde la cantidad del antecedente aumenta la cantidad del consecuente de manera proporcional.

Ejemplos:

                  1/2 = 3/6           5/8 = 10/16             2/3 = 6/9

2).- Proporción inversa: En esta proporción la cantidad en el antecedente significa la disminución de la cantidad en el consecuente, en este caso se aplica una regla de tres como se muestra en el siguiente ejemplo:

Si 2 agricultores tardan 10 días en arar un campo, ¿Cuanto tardaran 5 agricultores en desarrollar el mismo trabajo?

Solución:

Estamos hablando de una proporción inversa, ya que si aumenta el número de trabajadores el trabajo

se desarrollará en menos tiempo.

Para resolverlo se aplica la regla de tres:

antecedente                consecuente

Y se resuelve:

 días

Es decir, mientras que dos agricultores tardan  días, con la ayuda de otros  compañeros consiguen hacer el mismo trabajo en tan solo  días.